Kurt Gödel y su teorema de incompletitud - Redes RTVE

Kurt gödel
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Teoremas de incompletitud de Gödel

En lógica matemática, los teoremas de la incompletitud de Gödel son dos célebres teoremas demostrados por Kurt Gödel en 1930. Los teoremas de Gödel son teoremas en lógica de primer orden,

La lógica con predicados de primer orden tiene capacidad para definir prácticamente a todas las matemáticas.

Simplificando, el primer teorema afirma:

En cualquier formalización consistente de las matemáticas que sea lo bastante fuerte para definir el concepto de números naturales, se puede construir una afirmación que ni se puede demostrar ni se puede refutar dentro de ese sistema.

Este teorema es uno de los más famosos fuera de las matemáticas, y uno de los peor comprendidos. Es un teorema en lógica formal, y como tal es fácil malinterpretarlo. Hay multitud de afirmaciones que parecen similares a este primer teorema de incompletud de Gödel, pero que en realidad no son ciertas. Éstas se comentan en Malentendidos en torno a los teoremas de Gödel.

El segundo teorema de la incompletitud de Gödel, que se demuestra formalizando parte de la prueba del primer teorema dentro del propio sistema, afirma:

Ningún sistema consistente se puede usar para demostrarse a sí mismo.

La Incompletitud de Gödel y la paradoja del mentiroso. Janna Levin

"La paradoja del mentiroso afirma “esto es una mentira” o “estoy mintiendo”. Si es verdad que miente, entonces es falso. Y si es falso que es una mentira, entonces es verdad. Es una paradoja de la que no se puede salir y muchos matemáticos y filósofos de la época de Gödel creían que se trataba de un mero artefacto del lenguaje, que eso jamás pasaría con los números ni con las matemáticas porque eran muy puras y racionales. Pero Gödel construyó el equivalente matemático de esa paradoja. Suena como la frase “esta proposición es indemostrable”, pero lo tradujo a números, a una relación puramente matemática y luego demostró que, de hecho, era indemostrable. Las consecuencias fueron absolutamente estremecedoras para los matemáticos porque esa proposición que aparentemente era verdad, realmente era indemostrable dentro de las matemáticas. Fue como si las matemáticas hubieran fallado o no fueran completas. Gödel demostró que había relaciones matemáticas que estaban más allá de la demostración. Fue como una bofetada para la racionalidad."

Janna Levin


¿Quien es Janna Levin?
Janna Levin

Janna levin
by carlos3587

La mente más maravillosa del siglo XX

http://singularidad.wordpress.com/2007/02/03/la-mente-mas-maravillosa-del-siglo-xx/

“Si voy a mi oficina es únicamente para tener el privilegio de volver luego a casa paseando con Gödel“
Albert Einstein (1879-1955), físico germano-estadounidense

¿Quién era esta persona a la que Einstein tenía en tanta estima? Pues únicamente el lógico más brillante desde Aristóteles, muy posiblemente la mente más preclara del siglo XX, y sin ningún género de dudas una de las personas que cambió nuestra concepción de la realidad. Mucho más joven que Einstein, Kurt Gödel era de los pocos a los que el gran maestro de Ulm consideraba entre sus iguales, y ciertamente se encontraba entre los muy pocos con el empaque intelectual para permitirse darle la réplica en sus legendarias conversaciones sobre física y matemáticas. Gödel compartía con Einstein su genialidad y su oposición a las líneas de pensamiento dominantes en la época. Al igual que la Teoría de la Relatividad demolió la idea de un espacio y un tiempo independientes, absolutos, e inmutables, sus Teoremas de Incompletitud cambiaron el rumbo de la filosofía y las matemáticas, demostrando la inherente inaprehensibilidad del concepto de verdad matemática absoluta y completa. Y al igual que Einstein se alejó de la mayoría de comunidad física al oponerse a la teoría cuántica como modelo final del Cosmos, Gödel hizo lo propio al aferrarse a sus ideas platónicas sobre las matemáticas.

La vida de Gödel nunca fue simple, empezando por la relación afectiva con la que se convertiría en su mujer (que contó con la oposición de la familia de Gödel), continuando por la anexión de Austria por la Alemania Nazi (que motivaría finalmente su huida cuando estalló la Segunda Guerra Mundial), y terminando con el deterioro de su salud mental en sus últimos años en los EE.UU. De esta última época se cuentan historias acerca de sus temores paranoicos (que finalmente acabarían por causarle la muerte por inanición), pero prefiero quedarme con la genial anécdota de su nacionalización estadounidense.

Siendo alguien que se tomaba las cosas realmente en serio, aunque se pudiera tratar de meras formalidades, decidió estudiar en detalle la Constitución de los EE.UU. para su examen de nacionalización. El día antes del mismo llamó a Oskar Morgenstern -brillante matemático de origen alemán, padre de la Teoría de Juegos- muy nervioso; había descubierto una inconsistencia lógica en la Constitución por la que se podía instaurar una dictadura en los EE.UU. Morgenstern intentó calmarle, temeroso de las consecuencias que un comentario sobre eso podría tener sobre sus posibilidades de nacionalizarse. Al día siguiente el propio Morgenstern y Einstein acompañaron a Gödel, intentando distraerle para que olvidara el asunto. El juez Philip Forman, impresionado por el dúo de genios que hacían de padrinos les permitió quedarse durante el examen. En el desarrollo del mismo le pregunto a Gödel “Vd. tenía la nacionalidad alemana hasta ahora, ¿no?” -”Austriaca” le corrigió Gödel; “Es igual” -prosiguió el juez- “aquello fue durante una horrible dictadura, pero afortunadamente eso no puede pasar aquí“; “¡De ninguna manera, yo puedo demostrarle que sí!” afirmó Gödel, que comenzó a explicarle el mecanismo que había descubierto. Afortunadamente, el juez Forman le interrumpió, y Einstein y Morgenstern consiguieron calmar a Gödel, que poco más tarde juraría su nueva nacionalidad. Es aún un misterio qué fue lo que Gödel había descubierto. Algunos expertos apuntan que podría tratarse del Artículo V que describe cómo se cambia la Constitución, pero no pone límites en dichos cambios, aunque es difícil creer que fuera algo tan relativamente simple lo que hubiera llamado la atención de Gödel.

La fascinación de Gödel por el pensamiento puro le llevó a analizar lo que el consideraba la cuestión filosófica por excelencia: el tiempo. Su conclusión fue, como casi todo en él, extrema pero sólida en sus términos. Para Gödel el tiempo -tal como intuitivamente se entendía, con su noción de pasado y futuro- no existía. Esta idea general la plasmó en una solución a las ecuaciones de campo de Einstein que no daba lugar a un universo estático (como Einstein erróneamente postulaba inicialmente), ni a un universo en expansión (como Lemaître descubrió, de manera consistente con la observación), sino a un universo en rotación en el que era posible viajar al pasado, lo que elimina la propia noción de pasado y futuro. Y si había un universo en el que esto era así (aunque no fuera el nuestro), el papel del tiempo se derruía, ya que dejaba de ser necesario en términos absolutos, y para Gödel lo que no era necesario, no era.

Kurt Gödel murió en 1978. Fue uno de esos genios irrepetibles cuya inteligencia desbordante alumbra el Universo, y que no aparecen todos los siglos. Gödel dejó de estar entre nosotros, pero como Palle Yourgrau sentenció, “en un sentido profundo, todos vivimos en el Universo de Gödel”.

Gödel, Turing y Cantor, más allá de la razón (15-02-2007)

http://www.comunidadsmart.es/entrevistas_detalle.php?id=207


Kurt Gödel, aritmética paradójica

¿Estamos haciendo algo especial al pensar y al ser conscientes, algo que las máquinas no pueden hacer? Ésta ha sido una pregunta muy profunda durante muchas décadas. Y fue el matemático Kurt Gödel quien lanzó el reto. Le dio una bofetada a la racionalidad y demostró que había cosas que estaban más allá de la demostración matemática.

Janna Levin:
La paradoja del mentiroso afirma “esto es una mentira” o “estoy mintiendo”. Si es verdad que miente, entonces es falso. Y si es falso que es una mentira, entonces es verdad. Es una paradoja de la que no se puede salir y muchos matemáticos y filósofos de la época de Gödel creían que se trataba de un mero artefacto del lenguaje, que eso jamás pasaría con los números ni con las matemáticas porque eran muy puras y racionales. Pero Gödel construyó el equivalente matemático de esa paradoja. Suena como la frase “esta proposición es indemostrable”, pero lo tradujo a números, a una relación puramente matemática y luego demostró que, de hecho, era indemostrable. Las consecuencias fueron absolutamente estremecedoras para los matemáticos porque esa proposición que aparentemente era verdad, realmente era indemostrable dentro de las matemáticas. Fue como si las matemáticas hubieran fallado o no fueran completas. Gödel demostró que había relaciones matemáticas que estaban más allá de la demostración. Fue como una bofetada para la racionalidad.

Sebastián Grinschpun:
Me imagino que tu obsesión no sólo abarca su trabajo, sino que también se extiende a él como persona.

JL:
Me parece realmente interesante que fuera capaz de vislumbrar estas verdades increíblemente abstractas. Se necesita mucho tiempo para digerir sus ideas y apreciar lo extrañas y profundas que son. Sin embargo, su propia vida y la realidad se le escapaba totalmente. Estaba muy confundido, incluso dijo que no creía en la ciencia empírica, pero creía profundamente en las matemáticas. Es muy curioso cómo se refleja eso en su vida: era paranoico, esquizofrénico, tenía ideas delirantes y crisis mentales. Sufrió varios episodios hasta que finalmente ayunó hasta la muerte por miedo a ser envenenado. Es trágico, su genialidad fue a la vez su perdición.

SG:
No sé si es realidad o ficción, pero parece ser que estaba enamorado.

JL:
Eso fue real, sí.

SG:
Real... e importante, también.

JL:
Sí. Estaba amaba muchísimo a Adele, la mujer con la que se casó. Ella tenía varios años más que él y fue casi una figura materna: realmente lo cuidó. Podría decirse que no habría sobrevivido sin ella. Él era un caballero muy culto y ella era mucho más tosca que él. Había sido bailarina en un club nocturno, se había casado y divorciado y la madre de Gödel se opuso fuertemente al idilio. Pero él mantuvo la relación en secreto durante muchos años, y luego se casó con ella. Adele cuidó de él durante muchos episodios de casi inanición y lo mantuvo vivo hasta que ella misma cayó tan enferma que no pudo mantenerlo vivo más tiempo.


Alan Turing, un genio condenado

Alan Turing es famoso por haber decodificado la máquina Enigma de los alemanes en la II Guerra Mundial y reconocido como el padre de la informática moderna. Como Gödel, demostró verdades matemáticas importantísimas, pero la lógica tampoco le permitió acceder a la verdad de forma directa. Si nuestro cerebro es una máquina que sigue instrucciones numéricas, si todo está regido por las leyes de la física, si debemos ser leales a la razón... ¿dónde están el alma y el libre albedrío? Son preguntas que siguen en el tintero.

JL:
Algunas películas que había visto sobre su vida no mencionaban que era gay, ni que había sido condenado por homosexualidad en la década de 1950, ni que lo sometieron a un tratamiento con hormonas que lo castraron químicamente. Son datos extremadamente importantes viniendo de un personaje tan capital. Acabó suicidándose a causa de una depresión que fue la consecuencia directa de su condena.

SG:
Su proceso fue inverso al de Gödel.

JL:
Gödel creía en la reencarnación del alma, estaba muy confundido sobre la realidad externa, pero creía profundamente en la realidad matemática. Y Turing pasó de ser un joven religioso confundido a ser un ateo y materialista, y a debatirse en la transición. Y esto me pareció fascinante: que uno escogiera el materialismo, y el otro la senda espiritual, pero que ambos llegaran allí desde el mismo punto de la verdad matemática.

SG:
¿Es cierto que tenía un tipo de autismo?

JL:
El síndrome de Asperger es una forma muy leve de autismo que permite tener un trabajo, mantener relaciones sentimentales y llevar una vida casi normal. Si este síndrome se hubiese conocido en la época de Turing, probablemente se lo habrían diagnosticado. Turing tenía una voz vacilante, no modulaba el discurso con naturalidad y no parecía entender las corrientes emocionales entre la gente. Su hermosa honestidad era también una incapacidad de engañar a la gente. Era directo, sincero, abierto, franco, excéntrico y torpe socialmente... pero encantador.


Georg Cantor, cuando el reconocimiento llega tarde

Albert Einstein dijo un vez: “sólo hay dos cosas infinitas: el Universo y la estupidez humana… y del Universo no estoy tan seguro”. La idea de un universo infinito provienen de su trabajo sobre la relatividad, pero a Einstein la idea de un Universo finito también le interesaba. La matemática para estudiar modelos de universos finitos no existía entonces. Pero ahí llegó Cantor, otro matemático embarcado en el conocimiento de la naturaleza y con una biografía sorprendente.

JL:
Cantor padeció depresión y tendencias suicidas. Como en los casos de Gödel y de Turing, su historia personal está bastante encubierta. Pero no hay duda que parte del rechazo que sufrió por parte de la comunidad matemática precipitó depresiones muy profundas. La gente tardó en aceptar sus ideas y la reacción contra él fue vehemente. Creo que la falta de aceptación, de sus ideas y de su persona, le causó muchos problemas y supuso para él una lucha muy profunda.

SG:
Sin embargo, sus ideas alcanzaron el reconocimiento finalmente.

JL:
La belleza de la ciencia es justamente eso. Si Cantor tenía razón, con el tiempo todos acabaríamos reconociéndolo. Ésa es la mejor parte del método científico: no importa lo que creamos, debemos mirar la verdad y admitir lo que nos dice. Y esto es lo que pasó en su caso: con el tiempo la comunidad matemática reconoció que él tenía razón y lo admitió. Pero mientras tanto, Cantor sintió que todo podía vaporizarse, desaparecer.

SG:
Quizá se pueda relacionar con lo que les pasa a los artistas...

JL:
Creo que hay una relación con los artistas ya que tanto los científicos como los artistas -aunque obviamente difieren en sus metodologías e incluso en sus objetivos- se mueven por ciertas preguntas que dan sentido a su vida y que no siempre son concretas, sino que a veces son preguntas generales sobre qué estamos haciendo aquí y por qué estamos aquí, qué significa todo esto... Eso es fundamentalmente lo que impulsa a la gente a hacer cosas profundas en las matemáticas y la ciencia